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欧几里得的明确表达式，长度为$ 2^k $的自偶联循环代码$ {\ rm gr}（\ rm gr}（4，m）$
An explicit expression for Euclidean self-dual cyclic codes of length $2^k$ over Galois ring ${\rm GR}(4,m)$
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论文摘要
对于任何积极的整数$ m $和$ k $，现有文献仅确定galois ring $ {\ rm gr}（4，m）$的所有欧几里得自偶型循环代码，例如$ 2^k $。代码加密。 （2012）63：105--112]。使用这些矩阵的特定类型和列向量的矩阵的Kronecker产品的属性，我们提供了一种简单有效的方法，可以精确地构造所有这些自偶会循环代码。在此基础上，我们使用组合数字提供了明确的表达式，以准确地表示所有不同的欧几里得自偶会循环代码，$ {\ rm gr}（4，m）$，使用组合数字。作为一个应用程序，我们列出了$ {\ rm gr}（\ rm gr}（4，m）长度$ 2^k $的所有不同的欧双循环代码，$ k = 4,5,6 $。
For any positive integers $m$ and $k$, existing literature only determines the number of all Euclidean self-dual cyclic codes of length $2^k$ over the Galois ring ${\rm GR}(4,m)$, such as in [Des. Codes Cryptogr. (2012) 63:105--112]. Using properties for Kronecker products of matrices of a specific type and column vectors of these matrices, we give a simple and efficient method to construct all these self-dual cyclic codes precisely. On this basis, we provide an explicit expression to accurately represent all distinct Euclidean self-dual cyclic codes of length $2^k$ over ${\rm GR}(4,m)$, using combination numbers. As an application, we list all distinct Euclidean self-dual cyclic codes over ${\rm GR}(4,m)$ of length $2^k$ explicitly, for $k=4,5,6$.
