论文标题
Euler-Kronecker常数用于循环范围
Euler-Kronecker constants for cyclotomic fields
论文作者
论文摘要
储层计算是预测湍流的有力工具，其简单的架构具有处理大型系统的计算效率。然而，其实现通常需要完整的状态向量测量和系统非线性知识。我们使用非线性投影函数将系统测量扩展到高维空间，然后将其输入到储层中以获得预测。我们展示了这种储层计算网络在时空混沌系统上的应用，该系统模拟了湍流的若干特征。我们表明，使用径向基函数作为非线性投影器，即使只有部分观测并且不知道控制方程，也能稳健地捕捉复杂的系统非线性。最后，我们表明，当测量稀疏、不完整且带有噪声，甚至控制方程变得不准确时，我们的网络仍然可以产生相当准确的预测，从而为实际湍流系统的无模型预测铺平了道路。
The Euler-Mascheroni constant $γ=0.5772\dots\!$ is the $K=\mathbb{Q}$ example of an Euler-Kronecker constant $γ_K$ of a number field $K.$ In this note we consider the size of the $γ_q=γ_{K_q}$ for cyclotomic fields $K_q:=\mathbb{Q}(ζ_q).$ Assuming the Elliott-Halberstam Conjecture (EH), we prove uniformly in $Q$ that $$\frac{1}{Q}\sum_{Q<q\le 2Q} \left |γ_q - \log q\right |= o(\log Q).$$ In other words, under EH the $γ_q / \log q$ in these ranges converge to the one point distribution at $1$. This theorem refines and extends a previous result of Ford, Luca, and Moree for prime $q.$
